10東邦大学 2018年 数学 第10問解答・解説

$a=\tan\alpha$、$b=\tan\beta$、$c=\tan\gamma$ とおく。加法定理から $$\displaystyle \tan(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca}$$ である（分母が0なら正接は定義されない）。$(a,b,c)=(5,4,3)$ のとき $$\displaystyle \tan(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{5+4+3-5\cdot4\cdot3}{1-5\cdot4-4\cdot3-3\cdot5}=\frac{-48}{-46}=\frac{24}{23}.$$ 次に $1\le c<b<a\le9$ とする。正接が1となる条件は分母が0でないもとで分子と分母が等しいことであり、整理すると $$abc-ab-bc-ca=a+b+c-1,$$ すなわち $$(a-1)(b-1)(c-1)=2(a+b+c-1).$$ $c=1$ では左辺が0、右辺は正なので不可能である。$c\ge4$ なら $c\le7$、$a\ge c+2$、$b\ge c+1$ であるから $$(a-1)(b-1)(c-1)\ge(c+1)c(c-1)\ge60,$$ 一方 $a\le9,b\le8,c\le7$ より $2(a+b+c-1)\le46$ となり矛盾する。したがって $c=2$ または $c=3$。 $c=2$ のとき条件は $(a-3)(b-3)=10$ となる。$a>b>2$ より正の整数因数の順序と $a\le9$ を考えると、可能なのは $(a-3,b-3)=(5,2)$、すなわち $(a,b,c)=(8,5,2)$ だけである。 $c=3$ のときは $(a-2)(b-2)=5$。$a>b>3$ に合う正の整数因数の組は存在しない（5の因数は1と5で、$b-2>1$ が必要）。候補 $(a,b,c)=(8,5,2)$ を代入すると、分子は $8+5+2-8\cdot5\cdot2=-65$、分母は $1-8\cdot5-5\cdot2-2\cdot8=-65\ne0$ である。したがって、この候補では正接が実際に定義され、値は1となる。よって求める組は $(8,5,2)$ のみである。