7東邦大学 2018年 数学 第7問解答・解説

円の中心を $(0,k)$、接点の一方を $(t,t^2)$ とする。円の半径は1なので $$t^2+(t^2-k)^2=1.$$ 円の方程式 $x^2+(y-k)^2=1$ を微分すると、接点で円の接線の傾きは $-t/(t^2-k)$ である。一方、放物線 $y=x^2$ の接線の傾きは $2t$ である。2つの異なる接点の一方は $t\ne0$ だから、接線の傾きを等しくして $$\displaystyle 2t=-\frac{t}{t^2-k},\qquad t^2-k=-\frac12.$$ これを円の式に代入すると $t^2+1/4=1$ より $t^2=3/4$、したがって $k=5/4$ である。接点は $x=\pm\sqrt3/2$、$y=3/4$ となる。円の下側の弧は $y=5/4-\sqrt{1-x^2}$ である。 領域を高さ $y$ で水平に切る。放物線の上側では $x^2\le y$ なので、外側の半径は $\sqrt y$ である。$0\le y\le1/4$ では円の下側の弧がこの範囲をさらに狭めず、回転断面は半径 $\sqrt y$ の円盤となる。$1/4\le y\le3/4$ では円の内側を除くため、内側の半径は円の式から $\sqrt{1-(5/4-y)^2}$ となり、回転断面は円環となる。よって $$\displaystyle V=\pi\int_0^{1/4}y\,dy+\pi\int_{1/4}^{3/4}\left[y-\left\{1-\left(\frac54-y\right)^2\right\}\right]dy.$$ 第2積分の被積分関数は $y-1+(5/4-y)^2=(y-3/4)^2$ だから、 $$\displaystyle V=\pi\left(\frac1{32}+\int_{1/4}^{3/4}\left(y-\frac34\right)^2dy\right) =\pi\left(\frac1{32}+\frac1{24}\right)=\frac7{96}\pi.$$ したがって円の中心の $y$ 座標は $5/4$、回転体の体積は $7\pi/96$ である。