6東邦大学 2018年 数学 第6問解答・解説

頂点の $x$ 座標と $y$ 座標はそれぞれ $$\displaystyle p=\frac{b}{2a},\qquad q=c-\frac{b^2}{4a}$$ である。$\displaystyle \frac32<p<2$ より $3a<b<4a$。$b$ は1桁の自然数なので、$a=1$ なら $3<b<4$ となり不可能である。また $a\ge3$ なら $b>3a\ge9$ となり、やはり1桁の $b$ に反する。したがって $a=2$ で、$6<b<8$ を満たす自然数は $b=7$ だけである。 次に $1<q<2$ に代入すると $$\displaystyle 1<c-\frac{49}{8}<2,\qquad \frac{57}{8}<c<\frac{65}{8}.$$ この範囲にある1桁の自然数は $c=8$ だけである。実際、$p=7/4$、$q=15/8$ は指定された範囲に入る。 平方完成すると $$\displaystyle y=2x^2-7x+8=2\left(x-\frac74\right)^2+\frac{15}{8}.$$ 放物線を $y-q=a(x-p)^2$ と書くと、標準形 $(x-p)^2=4r(y-q)$ における焦点距離は $r=1/(4a)=1/8$ である。したがって準線は頂点より下に $1/8$ だけ離れた直線であり、 $$\displaystyle y=q-r=\frac{15}{8}-\frac18=\frac74.$$ よって $(a,b,c)=(2,7,8)$、準線は $y=7/4$。