1東邦大学 2018年 数学 第1問解答・解説

4人が出す手の組合せは、各人が3通りから選ぶので全部で $3^4=81$ 通りあり、どれも同様に確からしい。勝者がいるのは、出た手が2種類だけで、そのうち相手の手に勝つ種類を出した人たちである。

ちょうど1人が勝つ場合は、勝つ手を3通りから選び、その手を出す1人を4人から選ぶ。残りの3人は、選んだ手に負ける1種類の手を出すほかない。したがって、その場合の数は $3\cdot4=12$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{12}{81}=\frac{4}{27}.$$ ちょうど2人が勝つ場合は、勝つ手を3通りから選び、その手を出す2人を $\displaystyle \binom{4}{2}=6$ 通りで選ぶ。残りの2人は選んだ手に負ける1種類の手を出す。したがって、その場合の数は $\displaystyle 3\cdot\binom{4}{2}=18$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{18}{81}=\frac{2}{9}.$$ どちらも全81通りを分母とする確率で、数え上げを約分して得た値である。よって、ア=4、イウ=27、エ=2、オ=9。