3東邦大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおく。$s+c=1/\sqrt3$ および $s^2+c^2=1$ より $$\displaystyle 2sc=(s+c)^2-(s^2+c^2)=\frac13-1=-\frac23,$$ したがって $\displaystyle sc=-\frac13$ である。特に $s,c$ は0でない。 まず $$\displaystyle \left(s-\frac1s\right)\left(c-\frac1c\right) =\frac{(s^2-1)(c^2-1)}{sc} =\frac{(-c^2)(-s^2)}{sc}=sc=-\frac13.$$ 次に $$\displaystyle \left(s^2-\frac1{s^2}\right)\left(c^2-\frac1{c^2}\right) =\frac{(s^2-1)(s^2+1)(c^2-1)(c^2+1)}{s^2c^2} =(s^2+1)(c^2+1).$$ ここで $s^2+c^2=1$、$s^2c^2=(sc)^2=1/9$ だから $$\displaystyle (s^2+1)(c^2+1)=s^2c^2+s^2+c^2+1=\frac19+1+1=\frac{19}{9}.$$ よって、サシ=-1、ス=3、セソ=19、タ=9。