4東邦大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=(6,2)$、$\overrightarrow{OB}=(1,1)$ である。$AP:PB=9:1$ より、内分点の公式から $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+9\overrightarrow{OB}}{10}=\left(\frac32,\frac{11}{10}\right).$$ また、$Q$ は線分 $OP$ を $5:2$ に外分するので、$OQ:QP=5:2$ である。$O=(0,0)$ を用いる外分点の公式により $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{5\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{OO}}{5-2}=\frac53\overrightarrow{OP}=\left(\frac52,\frac{11}{6}\right).$$ 垂足 $H$ は直線 $OA$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{OH}=t\overrightarrow{OA}$ とおける。さらに $QH\perp OA$ なので $$(\overrightarrow{OQ}-t\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OA}=0.$$ よって $$\displaystyle t=\frac{\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}}=\frac{6\cdot\frac52+2\cdot\frac{11}{6}}{6^2+2^2}=\frac{56/3}{40}=\frac7{15}.$$ したがって $\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac7{15}\overrightarrow{OA}$ である。確認として、$H=(14/5,14/15)$ だから $\overrightarrow{QH}=(3/10,-9/10)$ であり、$\overrightarrow{QH}\cdot\overrightarrow{OA}=0$ となる。よって、ア=5、イ=2、ウエ=11、オ=6、カ=7、キク=15。