2東邦大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$x=2$ が2重解なので、左辺は $(x-2)^2$ を因数にもつ。残りは実係数の2次式であり、最高次の係数は1だから、ある実数 $p,q$ を用いて $$x^4+ax^3+10x^2-12x+b=(x-2)^2(x^2+px+q)$$ とおける。右辺を展開すると $$(x^2-4x+4)(x^2+px+q)=x^4+(p-4)x^3+(q-4p+4)x^2+(4p-4q)x+4q.$$ $x^2$ の係数と $x$ の係数を比べて $$q-4p+4=10,\qquad 4p-4q=-12.$$ 第2式から $q=p+3$ である。これを第1式に代入すると $p+3-4p+4=10$ より $p=-1$、したがって $q=2$ となる。よって $a=p-4=-5$（また $b=4q=8$）で、残りの2次式は $x^2-x+2$ である。 その判別式は $(-1)^2-4\cdot1\cdot2=-7<0$ だから、2つの解は実数でなく、解の公式から $$\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{-7}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}.$$ さらに $x=2$ を $x^2-x+2$ に代入した値は $4$ で0ではないため、もとの方程式で $x=2$ の重複度はちょうど2である。展開し直すと $x^4-5x^3+10x^2-12x+8$ となり、係数も一致する。したがって、カキ=-5、ク=1、ケ=7、コ=2。