8東邦大学 2018年 数学 第8問解答・解説

$|z|=5$ なので、複素平面を回転して $z=5$ としてよい。この回転は3つの複素数すべてに同じ絶対値1の数を掛ける操作であり、与えられた共役積、距離、比 $(z-x)/(y-x)$ を変えない。 条件 $x\bar z+\bar xz=6$ は $10\operatorname{Re}x=6$ を意味する。$|x|=1$ と合わせると $$\displaystyle x=\frac35\pm\frac45i.$$ 同様に $y\bar z+\bar yz=16$ は $10\operatorname{Re}y=16$ であり、$|y|=2$ より $$\displaystyle y=\frac85\pm\frac65i.$$ 虚部の符号が同じなら、$x-y$ の実部は $-1$、虚部の絶対値は $2/5$ なので $$\displaystyle |x-y|=\sqrt{1+\frac4{25}}=\frac{\sqrt{29}}5.$$ 符号が異なるなら、$x-y$ の実部の絶対値は1、虚部の絶対値は2であり、$|x-y|=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ となる。したがって距離はこの2通りである。 後者の一方として $x=3/5+4i/5$、$y=8/5-6i/5$ をとると $$\displaystyle \frac{z-x}{y-x}=\frac{(22-4i)/5}{1-2i}=\frac{6+8i}{5}.$$ この複素数の絶対値は2であるから、偏角を $\theta$ とすると $\cos\theta$ は実部を絶対値で割った値であり、 $$\displaystyle \cos\theta=\frac{6/5}{2}=\frac35.$$ 符号を逆にした場合はこの比の共役となり、実部と絶対値は同じなので同じ値を得る。よって、カキ=29、ク=5、ケ=5、コ=3、サ=5。