東邦大学 2018年数学第9問解答・解説

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1問題

東邦大学2018年度第9問

$x > 0$ で定義された連続関数 $f(x)$ は $f'(x) > 0$ を満たし、 $f(2) = 3$ である。また、 $x > 0$ および $y > 0$ に対し、 $f(xy) - f(x) - f(y) = xy - x - y$ が成り立つ。このとき、 $f(4) = \boxed{\text{シ}}$ 、 $f(8) = \boxed{\text{スセ}}$ である。さらに、方程式 $f(x + 2) + f(x - 2) + (x - 5)(x + 3) = 0$ の解は $x = \boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

関数条件で必要な値を計算し、元の方程式をf(x^2−4)=f(8)に変形して増加性で一意性を示す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$f(4)=6,\quad f(8)=11,\quad x=2\sqrt3$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

関数の条件に $x=y=2$ を代入すると $f(4)-2f(2)=4-2-2=0$ なので、 $f(4)=6$ である。次に $x=2,y=4$ を代入すると $f(8)-f(2)-f(4)=8-2-4=2,$ よって $f(8)=3+6+2=11$ 。元の方程式の定義域は $x-2>0$ 、すなわち $x>2$ である。関数条件を $u=x+2$ 、 $v=x-2$ に適用すると $f(x+2)+f(x-2)=f(x^2-4)-(x^2-4)+(x+2)+(x-2)=f(x^2-4)-x^2+2x+4.$ したがって方程式の左辺は $f(x^2-4)-x^2+2x+4+(x-5)(x+3)=f(x^2-4)-11.$ ゆえに方程式は $f(x^2-4)=11=f(8)$ と同値である。 $f'(t)>0$ だから $f$ は正の範囲で増加し、 $x>2$ では $x^2-4$ も増加するので、この方程式の解は高々1つである。 $x=2\sqrt3$ は $x>2$ を満たし、 $x^2-4=8$ となるので実際に解である。よって唯一の解は $x=2\sqrt3$ 。

この問題で使う考え方

導関数と増減

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