4筑波大学 2006年 数学 第4問解答・解説

$u_\theta=(\cos\theta,\sin\theta,0)$ は長さ1であり、直線 $L_\theta$ の方向ベクトルである。$A=(2,0,1)$ から $L_\theta$ への正射影は $$P_\theta=(A\cdot u_\theta)u_\theta =2\cos\theta(\cos\theta,\sin\theta,0) =(2\cos^2\theta,2\sin\theta\cos\theta,0).$$

(1) 二倍角の公式から $$P_\theta=(1+\cos2\theta,\sin2\theta,0).$$ よって $P_\theta=(x,y,z)$ とおくと $z=0$ かつ $$(x-1)^2+y^2=\cos^2 2\theta+\sin^2 2\theta=1.$$ $\theta$ が実数全体を動くと $2\theta$ も全角を動くため、この円周全体を動く。中心は (1,0,0)、半径は 1 である。

(2) $P_\theta$ は A から $L_\theta$ への垂足なので $AP_\theta\perp OP_\theta$。したがって三角形 OAP_$\theta$ は P_$\theta$ を直角とする。範囲内では $\cos\theta>0$ であり、 $$OP_\theta=2\cos\theta,\qquad AP_\theta^2=OA^2-OP_\theta^2=5-4\cos^2\theta=1+4\sin^2\theta.$$ 面積を S とすると $$\displaystyle S=\frac12 OP_\theta\cdot AP_\theta =\cos\theta\sqrt{1+4\sin^2\theta}.$$ $t=\sin^2\theta$ とおけば $0\leq t<1$ で、 $$\displaystyle S^2=(1-t)(1+4t) =1+3t-4t^2 =\frac{25}{16}-4\left(t-\frac38\right)^2 \le\frac{25}{16}.$$ 等号は $\displaystyle t=\frac38$ で成立するので、最大面積は $\displaystyle S=\frac54$。範囲から $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{\frac38}$, $\displaystyle \cos\theta=\sqrt{\frac58}$ であり、 $$\displaystyle P_\theta=(2\cos^2\theta,2\sin\theta\cos\theta,0) =\left(\frac54,\frac{\sqrt{15}}4,0\right).$$