筑波大学 2006年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

筑波大学2006年度第1問

$f(x)=x^{4}+2x^{2}-4x+8$ とする。

(1) $(x^{2}+t)^{2}-f(x)=(px+q)^{2}$ が x の恒等式となるような整数 t,p,q の値を一組求めよ。

(2) (1) で求めた t, p, q の値を用いて方程式 $(x^{2} + t)^{2} = (px + q)^{2}$ を解くことにより，方程式 $f(x) = 0$ の解をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\space{}(t,p,q)=(3,2,1).\qquad$ (2) 実数解なし; 複素数範囲では $x=1\pm i,\space{}-1\pm\sqrt{3}i.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $t=3, p=2, q=1$ とすると $\begin{aligned} (x^2+3)^2-f(x) &=x^4+6x^2+9-(x^4+2x^2-4x+8)\\ &=4x^2+4x+1=(2x+1)^2. \end{aligned}$ よって $(t,p,q)=(3,2,1)$ は条件を満たす整数の組である。

(2) (1) の恒等式から $f(x)=0\quad\text{すなわち}\quad (x^2+3)^2=(2x+1)^2.$ 平方の差を因数分解して $(x^2+3)^2-(2x+1)^2 =(x^2-2x+2)(x^2+2x+4)=0.$ $x$ を実数とする場合、 $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,\qquad x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0$ なので実数解はない。一方、複素数の範囲では $x^2-2x+2=0\quad\text{より}\quad x=1\pm i,\qquad x^2+2x+4=0\quad\text{より}\quad x=-1\pm\sqrt{3}i.$ 問題文に解の範囲が明記されていないため、実数範囲と複素数範囲の結果を分けて記した。

この問題で使う考え方

高次方程式
複素数の四則演算

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