5筑波大学 2006年 数学 第5問解答・解説

(1) $A$ は $3\times2$ 行列、$B$ は $2\times3$ 行列である。したがって、和は同じ型の行列同士でのみ定義されることから $A+B$ は定義されない。また、$AA$ は積の内側の次数が $2$ と $3$ で一致しないので定義されない。 $$AB= \begin{pmatrix} 1&2\\-3&4\\2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1&2\\4&-2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11&-3&4\\ 7&-11&-2\\ 2&4&3 \end{pmatrix}.$$ 一方、 $$BA= \begin{pmatrix} 3&1&2\\4&-2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\-3&4\\2&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&8\\12&-1 \end{pmatrix}.$$ よって $AB$ と $BA$ は定義され、上の値となる。

(2) $M=BA=\begin{pmatrix}4&8\\12&-1\end{pmatrix}$ とおき、 $$C=\begin{pmatrix}p&q\\r&d\end{pmatrix}$$ とする。$CM=MC$ の各成分を比較すると $$3q=2r,\qquad 8(p-d)=5q$$ を得る（残りの成分の等式はこの2式と同値である）。ここで $$\displaystyle t=\frac q8,\qquad s=d+\frac q8$$ とおけば $$\displaystyle sE+tM= \begin{pmatrix} s+4t&8t\\12t&s-t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d+\frac{5q}{8}&q\\ \frac{3q}{2}&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p&q\\r&d\end{pmatrix} =C.$$ したがって、実数 $s,t$ が存在して $C=sE+t(BA)$ と表される。