筑波大学／2006年度

筑波大学 2006年数学第7問解答・解説

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1問題

筑波大学2006年度第7問

投げたとき裏が出やすいと思われるコインがある。このコインについて本当に裏が出やすいかどうか調べてみたい。このコインを投げて表の出る確率を p とし, 100 回投げて表の出る回数を X とする。このとき次の問いに答えよ。ただし, 必要があれば, 次ページの正規分布表を参照し, 正規分布による近似を用いてよい。

(1) $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ のとき $P(X \leq 40)$ を四捨五入により小数点以下第2位まで求めよ。

(2) $X \leq a$ であったら「 $\displaystyle p < \frac{1}{2}$ 」， $X > a$ であったら「 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ 」と判断することにする（ただし $a$ は50未満の整数）。本当は $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ であるのに「 $\displaystyle p < \frac{1}{2}$ 」と判断される確率が0.10以下となるような整数 $a$ の最大値を求めよ。

(3) (2) の a を用いて「 $\displaystyle p < \frac{1}{2}$ 」か「 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ 」かの判断を行うとする。このとき， $\displaystyle p = \frac{2}{5}$ であるのに「 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ 」と判断される確率を四捨五入により小数点以下第2位まで求めよ。ただし， $\sqrt{6} \fallingdotseq 2.45$ としてよい。

右向きのz軸、上向きのy軸、原点Oのある正規分布曲線の図。z軸に−uとuが示され、各位置から曲線まで垂線があり、Oからuまでの曲線と軸の間に斜線が引かれている。斜線部に向けて引かれた線の先にp(u)と記されている。

u	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.49560	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.49720	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.49760	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3.0	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49897	0.49900

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 0.03。
$(2) a=43$ 。
(3) 0.24。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $p=1/2$ のとき、二項分布を平均 $np=50$ 、標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}=5$ の正規分布で近似する。連続補正を用いると $\displaystyle P(X\leq40)\approx P\left(Z\leq\frac{40.5-50}{5}\right)=P(Z\leq-1.90).$ 表より $P(0\leq Z\leq1.90)=0.4713$ なので $P(Z\leq-1.90)=0.5-0.4713=0.0287\simeq0.03.$

(2) $p=1/2$ のもとでは同じく平均50、標準偏差5であり、連続補正により $\displaystyle P(X\leq a)\approx P\left(Z\leq\frac{a+0.5-50}{5}\right).$ $a=43$ のとき標準化値は $-1.30$ だから $P(X\leq43)\approx0.5-P(0\leq Z\leq1.30)=0.5-0.4032=0.0968\leq0.10.$ 一方、 $a=44$ では標準化値が $-1.10$ となり $P(X\leq44)\approx0.5-P(0\leq Z\leq1.10)=0.5-0.3643=0.1357>0.10.$ この確率は $a$ とともに増加するので、条件を満たす最大の整数は $a=43$ 。

(3) $p=2/5$ のとき、平均は $100\cdot0.4=40$ 、標準偏差は $\sqrt{100\cdot0.4\cdot0.6}=\sqrt{24}=2\sqrt6\simeq4.90.$ $a=43$ で $p=1/2$ と判断する事象は $X>43$ 、すなわち $X\geq44$ 。連続補正を用いて $\displaystyle P(X>43)\approx P\left(Z\geq\frac{43.5-40}{4.90}\right)\approx P(Z\geq0.71).$ 表より $P(0\leq Z\leq0.71)=0.2611$ なので $P(Z\geq0.71)=0.5-0.2611=0.2389\simeq0.24.$

この問題で使う考え方

正規近似
標準化
連続補正

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