2筑波大学 2006年 数学 第2問解答・解説

・ 部分積分で $$\displaystyle e^x-(1+x)=\int_0^x(x-t)e^t\,dt$$ を得る。$x\ge0$ のとき $0\le t\le x$ では $x-t\ge0$ かつ $1\le e^t\le e^x$ である。したがって $$\displaystyle 0\le \int_0^x(x-t)e^t\,dt \le e^x\int_0^x(x-t)\,dt =\frac{x^2e^x}{2}.$$

・ $n\ge1$ とし、差の因数分解を用いると $$\displaystyle a^n-b^n=(a-b)\sum\limits _{j=0}^{n-1}a^{n-1-j}b^j.$$ $a\ge b>0$ より各項は $a^{n-1-j}b^j\le a^{n-1}$ であり、和の項数は $n$ 個である。さらに $a-b\ge0$ だから $$a^n-b^n\le (a-b)n a^{n-1}.$$

・ $\displaystyle t=\frac xn\ge0$ とおく。(1) より $e^t\ge1+t>0$ なので、(2) を $a=e^t,\ b=1+t$ に適用できる。さらに (1) の上側の評価を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} e^x-\left(1+\frac xn\right)^n &=(e^t)^n-(1+t)^n\\ &\le n(e^t-1-t)e^{(n-1)t}\\ &\le n\cdot\frac{t^2e^t}{2}\,e^{(n-1)t} =\frac{x^2e^{nt}}{2n} =\frac{x^2e^x}{2n}. \end{aligned}$$