2金沢大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $\vec u\ne\vec 0$ なので、$x\ne0$ または $x=0,\ y\ne0$ である。 $x\ne0$ のとき、$xw=yz$ より $w=yz/x$ だから $$\displaystyle \vec v=(z,w)=\frac{z}{x}(x,y)=\frac{z}{x}\vec u.$$ したがって $\vec u$ と $\vec v$ は平行である。 $x=0$ のときは $y\ne0$ であり、条件から $yz=0$、よって $z=0$ となる。$\vec v\ne\vec0$ より $w\ne0$ なので、$\vec v=(0,w)=(w/y)(0,y)=(w/y)\vec u$ である。よってこの場合も平行である。

(2) $\Delta=xw-yz$ とおく。$\Delta\ne0$ ならば、直接計算により $$X\begin{pmatrix}w&-z\\-y&x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}w&-z\\-y&x\end{pmatrix}X =\Delta I$$ であるから、$\Delta^{-1}\begin{pmatrix}w&-z\\-y&x\end{pmatrix}$ は $X$ の逆行列である。したがって、$X$ が逆行列をもたないならば $\Delta=0$、すなわち $xw=yz$ である。(1)より、ある実数 $c$ を用いて $\vec v=c\vec u$ と表せる。$\vec v\ne\vec0$ なので $c\ne0$ である。このとき $$b\vec v=A\vec v=A(c\vec u)=cA\vec u=ca\vec u=a\vec v.$$ $\vec v\ne\vec0$ より $a=b$ を得る。

(3) $$D=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$$ とおく。$a\ne b$ ならば、(2)の対偶から $X$ は逆行列をもつ。また $a,b\ne0$ だから $D^{-1}=\begin{pmatrix}1/a&0\\0&1/b\end{pmatrix}$ も存在する。与えられた二つの式を列ごとに並べると $$AX=\begin{pmatrix}A\vec u&A\vec v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\vec u&b\vec v\end{pmatrix}=XD$$ となる。右から $X^{-1}$ を掛けて $A=XDX^{-1}$ である。そこで $B=XD^{-1}X^{-1}$ とおけば、結合則と $X^{-1}X=I$ を用いて $$AB=XDD^{-1}X^{-1}=I,\qquad BA=XD^{-1}DX^{-1}=I.$$ よって $B$ は $A$ の逆行列であり、$A$ は逆行列をもつ。