1金沢大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(x)=0$ が重解 r をもつなら $f(r)=f'(r)=0$ である。$f^{\prime}(x)=-3x^2+3a$ より $r^2=a$。これを $f(r)=0$ に代入すると $-r^3+3r^3-2b=0$、したがって $b=r^3$。よって $a^3=(r^2)^3=r^6=b^2$。三重解も重解なので同じ結論を得る。

(2)(i) 接点を $(t,t^{2/3})$ とおく。$t=0$ は曲線上の点が $(0,0)$ で直線の y 切片が $\displaystyle \frac13$ であるため接点ではない。$t>0$ では C の傾きは $\displaystyle \frac23t^{-1/3}$。接線の y 切片は $\displaystyle t^{2/3}-\frac23t^{-1/3}t=\frac13t^{2/3}$。これが $\displaystyle \frac13$ なので $t=1$、$\displaystyle m=\frac23$、接点は $(1,1)$。

(2)(ii) 境界は x=0 と、x=0 から x=1 までの曲線および接線である。$0\le x\le1$ で接線が上側にあることは、$t=x^{1/3}$ とおけば $\displaystyle \frac23x+\frac13-x^{2/3}=\frac13(t-1)^2(2t+1)$$\ge$0 から分かる。y 軸まわりの円筒殻で積分すると、$\displaystyle V=2\pi\int_0^1x\left(\frac23x+\frac13-x^{2/3}\right)\,dx=2\pi\left(\frac29+\frac16-\frac38\right)=\frac\pi{36}$。