1岐阜大学 2023年 数学 第1問解答・解説

AP:PB=1:2より$\displaystyle OP=\frac{2a+b}{3}$、また$OQ=s\,OP$です。重心よりOG=(a+b+c)/3なので、QG=OG−OQ=( (1−2s)a+(1−s)b+c )/3 です。

正四面体の各辺が1で、|a|=|b|=|c|=1です。例えばAB²=|a−b|²=1からa・b=1/2となり、同様に三組の内積はすべて1/2です。よって OQ・QG=(s/9)(2a+b)・((1−2s)a+(1−s)b+c)=s(6−7s)/9。内分点では0<s<1なので垂直条件は$\displaystyle s=\frac67$です。

|OP|²=|2a+b|²/9=7/9より、|OQ|=2√7/7です。また|OG|²=|a+b+c|²/9=2/3です。OQ⊥QGだから|QG|²=|OG|²−|OQ|²=2/3−4/7=2/21。したがって面積は$\displaystyle \frac12|OQ||QG|=\frac{\sqrt6}{21}$です。

直角三角形OQGでtan∠OGQ=OQ/QG=√6です。さらにPO=√7/3、PG=|c−a|/3=1/3、PO・PG=1/9なので cos∠OPG=1/√7、sin∠OPG=√(6/7)、よって$\tan\angle OPG=\sqrt6$です。各角は鋭角でtanが√6>1なので和は90°より大きく180°未満です。加法定理から tan(和)= (√6+√6)/(1−6)=−2√6/5 です。