1長崎大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) $H$ を $A$ から $AB,AC$ 方向の実数一次結合で表し、位置ベクトル $\overrightarrow{OH}$ を $\vec a,\vec b,\vec c$ で展開すると係数和が $1$ になる。(2) 長さと余弦から $\vec a\cdot\vec a=1,\ \vec b\cdot\vec b=9,\ \vec c\cdot\vec c=4,\ \vec a\cdot\vec b=0,\ \vec a\cdot\vec c=-1,\ \vec b\cdot\vec c=-3$。$\overrightarrow{OH}$ が $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方向に垂直という条件を内積で表すと $-s+9t-2u=0,\ -2s-3t+5u=0$。これを $s+t+u=1$ と解き、$\displaystyle (s,t,u)=\left(\frac{13}{23},\frac{3}{23},\frac{7}{23}\right)$。(3) $\overrightarrow{OK}=x\vec a+y\vec b$ とおき、$\overrightarrow{CK}\perp\vec a,\vec b$ から $\displaystyle x=-1,y=-\frac13$。内積で $|\overrightarrow{CK}|^2=2$。底面 $OAB$ は直角三角形で面積 $\displaystyle \frac32$、$CK$ はその平面への垂線の長さなので体積は $\displaystyle \frac13\cdot\frac32\cdot\sqrt2=\frac{\sqrt2}{2}$。