3岐阜大学 2023年 数学 第3問解答・解説

奇数札は1,3,5の3枚、偶数札は2,4,6の3枚である。積が奇数となるのは、その積に使う札がすべて奇数の場合に限る。

(1) 上段に奇数札3枚、下段に偶数札3枚を並べるから $$\boxed{3!\cdot3!=36}\text{ 通り}.$$ (2) 全配置 $6!$ 通りから(1)を除いて $$\boxed{6!-36=684}\text{ 通り}.$$ (3) 左列の積が奇数となるのは、奇数札3枚から2枚を選んで上下に並べる場合である。残る4枚は自由に並べるので、その配置は $\displaystyle \binom32 2!4!$ 通り。余事象から $$\displaystyle \boxed{6!-\binom32 2!4!=576}\text{ 通り}.$$ (4) 両段の積が偶数となるには、偶数札3枚が上段だけ・下段だけに集中してはならない。偶数札を置く3マスの選び方は $\displaystyle \binom63-2$ 通り。それぞれ偶数札と奇数札を並べる方法が $3!$ 通りずつあるから $$\displaystyle \boxed{(\binom63-2)(3!)^2=648}\text{ 通り}.$$ (5) 3列すべての積が偶数になるには、各列に偶数札を1枚ずつ置く必要がある。各列の上下の選び方は $2^3$ 通りで、このうち全枚上段・全枚下段の2通りを除けば両段の積も偶数になる。従って $$\boxed{(2^3-2)(3!)^2=216}\text{ 通り}.$$