4岐阜大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 積の微分法を用いると $$f'(x)=(x+1)e^x,\qquad f''(x)=(x+2)e^x,\qquad f^{(3)}(x)=(x+3)e^x.$$

(2) $n=1$ では $f'(x)=(x+1)e^x$ である。$f^{(n)}(x)=(x+n)e^x$ と仮定して微分すれば $$f^{(n+1)}(x)=\{1+x+n\}e^x=(x+n+1)e^x.$$ よって帰納法により $f^{(n)}(x)=(x+n)e^x$（$n\ge1$）。$e^x>0$ なので零点は $x=-n$ のみで、共有点は1個である。

(3) $g'(x)=(x^2+2x)e^x$ だから、$p_1=2,\ q_1=0$ とすればよい。$g^{(n)}(x)=(x^2+p_nx+q_n)e^x$ と仮定すると $$g^{(n+1)}(x)=\{x^2+(p_n+2)x+(q_n+p_n)\}e^x.$$ したがって $p_{n+1}=p_n+2,\ q_{n+1}=q_n+p_n$ と置けば帰納法で成立する。

(4) 漸化式から $$\displaystyle p_n=2n,\qquad q_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}2k=n(n-1),$$ ゆえに $$g^{(n)}(x)=\{x^2+2nx+n(n-1)\}e^x.$$ $e^x>0$ より零点は二次式の根に一致する。判別式は $4n>0$ なので、共有点は $$(-n-\sqrt n,0),\qquad(-n+\sqrt n,0)$$ の2個である。

積の微分法で一般形を保ち、数学的帰納法でfの式とgの係数の漸化式を示す。gの係数漸化式を解いた後、指数関数の正値と二次式の判別式でx軸との共有点を数える。