岐阜大学 2023年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

岐阜大学2023年度第2問

数列 {a_n} を $a_1=1$ , a_{n+1}=(√2−1)a_n+2 (n=1,2,3,...) によって定める。このとき, a_n は整数 p_n, q_n を用いて a_n=p_n+√2 q_n と表せる。以下の問に答えよ。

(1) p_1, p_2, q_1, q_2 を求めよ。

(2) p_{n+1}, q_{n+1} を p_n と q_n を用いてそれぞれ表せ。

(3) b_n=a_n−(2+√2) とする。b_{n+1} を b_n を用いて表せ。また, b_n を n を用いて表せ。

(4) c_n=p_n−√2 q_n とする。c_{n+1} を c_n を用いて表せ。

(5) p_n, q_n を n を用いてそれぞれ表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $p_1=1,\quad p_2=1,\quad q_1=0,\quad q_2=1$ 。
(2) $p_{n+1}=-p_n+2q_n+2,\quad q_{n+1}=p_n-q_n$ 。
(3) $b_{n+1}=(\sqrt2-1)b_n,\quad b_n=-(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)^{n-1}$ 。
(4) $c_{n+1}=-(1+\sqrt2)c_n+2$ 。
(5) $\displaystyle p_n=2+\frac{(-1)^{n-1}(1+\sqrt2)^{n-2}-(\sqrt2-1)^{n-2}}2,\quad q_n=1-\frac{(-1)^{n-1}(1+\sqrt2)^{n-2}+(\sqrt2-1)^{n-2}}{2\sqrt2}\quad(n\ge1)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $a_1=1$ 、 $a_2=1+\sqrt2$ より $p_1=1,\quad q_1=0,\quad p_2=1,\quad q_2=1.$ (2) 漸化式へ代入すると $a_{n+1}=(-p_n+2q_n+2)+\sqrt2(p_n-q_n).$ 有理数部分と $\sqrt2$ の係数を比較して $p_{n+1}=-p_n+2q_n+2,\qquad q_{n+1}=p_n-q_n.$ (3) $b_n=a_n-(2+\sqrt2)$ とおけば $b_{n+1}=(\sqrt2-1)b_n,\qquad b_1=-1-\sqrt2.$ よって $b_n=-(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)^{n-1}$ 、すなわち $a_n=2+\sqrt2-(\sqrt2-1)^{n-2}.$ (4) $c_n=p_n-\sqrt2q_n$ とおくと $c_{n+1}=-(1+\sqrt2)c_n+2.$ $c_n-(2-\sqrt2)$ は初項 $\sqrt2-1$ 、公比 $-(1+\sqrt2)$ の等比数列だから $c_n=2-\sqrt2+(-1)^{n-1}(1+\sqrt2)^{n-2}.$ (5) $p_n=(a_n+c_n)/2$ 、 $q_n=(a_n-c_n)/(2\sqrt2)$ より $\displaystyle p_n=2+\frac{(-1)^{n-1}(1+\sqrt2)^{n-2}-(\sqrt2-1)^{n-2}}2,$ $\displaystyle q_n=1-\frac{(-1)^{n-1}(1+\sqrt2)^{n-2}+(\sqrt2-1)^{n-2}}{2\sqrt2}.$

この問題で使う考え方

係数比較
平行移動
等比数列

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。