III横浜市立大学 2021年 数学 第III問解答・解説

$\displaystyle b_n=1-\frac{3}{a_n+1}$ とおく。漸化式から $$\displaystyle a_{n+1}+1=4-\frac{4}{a_n+2}=\frac{4(a_n+1)}{a_n+2}$$ なので、 $$\displaystyle b_{n+1}=1-\frac{3(a_n+2)}{4(a_n+1)} =\frac{a_n-2}{4(a_n+1)} =\frac14 b_n.$$ また $\displaystyle b_1=1-\frac{3}{1}=-2\neq0$ だから、すべての $n$ で $b_n\neq0$ であり、$b_{n+1}/b_n=1/4$。

従って $b_n=-2\cdot4^{-(n-1)}$。定義から $\displaystyle a_n=\frac{2+b_n}{1-b_n}$ なので $$\displaystyle a_n=\frac{2(4^{n-1}-1)}{4^{n-1}+2} =2-\frac{6}{4^{n-1}+2}.$$ $a_1=0$、$a_2=1$。$n\ge3$ なら $4^{n-1}+2\ge18$ より $1<a_n<2$ で、自然数にはならない。自然数を正の整数とする本問では $A\cap B=\{1\}$ となり、その要素数は $1$。

$\displaystyle b_n=1-\frac{3}{a_n+1}$ と置くと、漸化式から $\displaystyle b_{n+1}=\frac14b_n$ となる。等比数列 $b_n$ を求めて $a_n$ へ戻すと $\displaystyle a_n=2-\frac{6}{4^{n-1}+2}$。$a_1=0$、$a_2=1$ で、$n\ge3$ では $1<a_n<2$ だから、自然数である項は1だけ。