北海道大学 2024年数学第3問解答・解説

微分・積分の考え数列

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1問題

北海道大学2024年度第3問

次の問に答えよ。

(1) α を実数とする。次のように定められた数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

$\displaystyle a _ {1} = \alpha , \quad a _ {n + 1} = \frac {1}{2} a _ {n} + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots \dots)$

(2) 関数 $f_{1}(x)$ , $f_{2}(x)$ , $f_{3}(x)$ , $\cdots$ を次の関係式で定める。

$f _ {1} (x) = 3 x$

$\displaystyle f _ {n + 1} (x) = (n + 2) x ^ {n + 1} + \left(\int_ {0} ^ {1} f _ {n} (t) d t\right) x \quad (n = 1, 2, 3, \dots \dots)$

関数 $f_{n}(x)$ を x と n の式で表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle a_n=2+\frac{\alpha-2}{2^{n-1}}$ 。(2) $f_n(x)=(n+1)x^n+(2-2^{1-n})x$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 漸化式の定数解は $\displaystyle 2=\frac12\cdot2+1$ である。そこで $b_n=a_n-2$ とおくと $\displaystyle b_{n+1}=a_{n+1}-2=\frac12(a_n-2)=\frac12b_n,\qquad b_1=\alpha-2.$ 従って $b_n=(\alpha-2)/2^{n-1}$ 、よって $\displaystyle a_n=2+\frac{\alpha-2}{2^{n-1}}.$

(2) $n=1$ では与式の右辺は $\displaystyle 2x+(\int_0^1 3t\,dt)x=3x=f_1(x)$ 。一般に $\displaystyle f_{n+1}(x)=(n+2)x^{n+1}+x\int_0^1 f_n(t)\,dt.$ $f_n(x)=(n+1)x^n+(2-2^{1-n})x$ と仮定すると $\displaystyle \int_0^1f_n(t)\,dt=1+\frac{2-2^{1-n}}2=2-2^{-n}.$ ゆえに $f_{n+1}(x)=(n+2)x^{n+1}+(2-2^{-n})x=(n+2)x^{n+1}+(2-2^{1-(n+1)})x.$ 帰納法により、すべての $n\ge1$ で $f_n(x)=(n+1)x^n+(2-2^{1-n})x.$

この問題で使う考え方

定数解を引く変数変換
等比数列
数学的帰納法
定積分の計算

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