2大分大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) 漸化式から $$x_n=2^{n-1}x_1=2^n.$$ また、$y_{k+1}-y_k=3x_k=3\cdot2^k$ なので、$n\ge2$ では $$\displaystyle y_n=y_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}3\cdot2^k=3(2^n-2)=3\cdot2^n-6.$$ この式は$n=1$に対しても$y_1=0$を与える。したがって$x_n=2^n,\ y_n=3\cdot2^n-6$である。

(2) 与えられた漸化式と$f_n=ps^n+q$を用いると、求める条件は $$(a_{n+1}+f_{n+1})-r(a_n+f_n)=\{c+p(s-r)\}s^n+d+q(1-r)=0$$ となることである。これがすべての$n$で成り立つには、$s\ne0,1$より$s^n$の係数と定数項がそれぞれ0でなければならない。よって $$c+p(s-r)=0,\qquad d+q(1-r)=0.$$ 条件$r\ne s,1$を用いて解けば $$\displaystyle p=\frac{c}{r-s},\qquad q=\frac{d}{r-1}.$$

(3) (1)の結果を$z$の漸化式に代入すると $$z_{n+1}=3z_n+x_n-2y_n=3z_n+12-5\cdot2^n,\qquad z_1=0.$$ これを順に代入して $$\displaystyle z_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}3^{n-1-k}(12-5\cdot2^k).$$ ここで、等比数列の和を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}3^{n-1-k}=\frac{3^{n-1}-1}{2},\qquad \sum\limits _{k=1}^{n-1}3^{n-1-k}2^k=2\cdot3^{n-1}-2^n.$$ したがって $$\displaystyle z_n=12\cdot\frac{3^{n-1}-1}{2}-5(2\cdot3^{n-1}-2^n)=5\cdot2^n-4\cdot3^{n-1}-6.$$ この式に$n=1$を代入すると$z_1=0$となる。また、右辺を$3z_n+12-5\cdot2^n$に代入すると$5\cdot2^{n+1}-4\cdot3^n-6$となり、得られた一般項は漸化式も満たす。

漸化式を初項から反復し、等比数列の一般項と有限和を用いる。定数を決める条件は式中の指数項の係数と定数項に分ける。