岐阜大学 2023年数学第5問解答・解説

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1問題

岐阜大学2023年度第5問

Oを原点とする複素数平面上で, OA=√3 となる点Aをとる。点AをOを中心として π/3 だけ回転した点をBとする。このとき, 正三角形となる△OABの頂点A, Bを表す複素数をそれぞれ α, β とする。また, 辺ABの中点をM, △OABの重心をGとする。以下の問に答えよ。

(1) 点Mと点Gを表す複素数を, それぞれ α, β を用いて表せ。

(2) βをαを用いて表せ。

(3) 点Gを表す複素数の実部が正, 虚部が −√3/3 であるとき, α+β の虚部を求めよ。さらに, α+β の実部を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 中点と重心の位置を表す複素数は，それぞれ $\displaystyle z_M=\frac{\alpha+\beta}{2},\qquad z_G=\frac{\alpha+\beta}{3}.$ (2) 原点の周りの角 $\pi/3$ の回転は $\displaystyle \beta=\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)\alpha =\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\alpha.$ (3) 重心の虚部から $\operatorname{Im}(\alpha+\beta)=-\sqrt3$ 。また2本のベクトルのなす角が $\pi/3$ なので $|\alpha+\beta|^2=3+3+2\cdot3\cos(\pi/3)=9.$ 実部は正だから $\operatorname{Re}(\alpha+\beta)=\sqrt{9-3}=\sqrt6$ 。

この問題で使う考え方

複素数平面
複素数の極形式
複素数の四則演算
一般角と弧度法

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