3東京医科歯科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) 2円の交点は $(\pm\sqrt{r^2-c^2},0)$ である。上側の円の中心 $(0,c)$ から交点へ引いた半径と、中心を通る下向きの直線とのなす角は $\theta$ である。したがって、その円で共通部分に含まれる弓形は、中心角 $2\theta$ の扇形から二等辺三角形を除いた部分である。もう一方にも同じ弓形があるから $$\displaystyle \begin{aligned} S&=2\left(\frac12r^2\cdot 2\theta-\frac12r^2\sin 2\theta\right)\\ &=2r^2(\theta-\sin\theta\cos\theta). \end{aligned}$$ ここでは扇形の面積に弧度法を用いた。$c=0,\theta=\pi/2$ のとき $S=\pi r^2$ となり、円全体の面積とも一致する。

(2) $c$ を $-c$ に置き換えると2円が入れ替わるだけなので、面積は $|c|$ のみによる。ここで $\phi=\pi-\theta$ とおくと $0<\phi\le\pi/2$、$\cos\phi=-\cos\theta=|c|/r$ である。(1)の式を $\phi$ に適用して $$S=2r^2(\phi-\sin\phi\cos\phi) =2r^2(\pi-\theta+\sin\theta\cos\theta).$$ $c=0$ ではこの式も $S=\pi r^2$ を与える。

(3) 点 $(0,s,t)$ が $C$ 上にあることから $t=as^2$、したがって $s=\sqrt{t/a}$ である。円盤 $D_1$ の $y$ 座標の最小値は $f(t)-r$ なので $f(t)=r-s$。同様に $D_2$ の $y$ 座標の最大値は $g(t)+r$ なので $g(t)=s-r$ である。よって平面 $z=t$ での2円盤の中心は $(0,r-s)$, $(0,s-r)$ で、中心間距離は $2|r-s|$。共通部分が面積をもつのは $0<s<2r$ のときであり、端点 $s=0,2r$ では接するだけ、それ以外では共通部分はない。

$0<s<2r$ に対し $\theta$ を $0<\theta\le\pi/2$, $\cos\theta=|r-s|/r$ で定めると、(1)より高さ $t=as^2$ での共通部分の面積は $$A(s)=2r^2(\theta-\sin\theta\cos\theta).$$ したがって $t=as^2$, $dt=2as\,ds$ を用いて $$\displaystyle V=\int_0^{2r}A(s)\,2as\,ds.$$ $u=s/r$ とおき、$0\le v\le1$ に対して $\cos\phi=v$, $0\le\phi\le\pi/2$ としたときの $$F(v)=\phi-\sin\phi\cos\phi$$ を定めると、$A(s)=2r^2F(|1-u|)$ である。よって $$\displaystyle V=4ar^4\int_0^2uF(|1-u|)\,du.$$ $H(u)=F(|1-u|)$ とおけば $H(2-u)=H(u)$。積分で $u$ を $2-u$ に置き換えると $$\displaystyle \int_0^2uH(u)\,du=\int_0^2(2-u)H(u)\,du,$$ したがって $\displaystyle \int_0^2uH(u)\,du=\int_0^2H(u)\,du=2\int_0^1F(v)\,dv$。ここで $v=\cos\phi$ と置換すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1F(v)\,dv &=\int_0^{\pi/2}(\phi-\sin\phi\cos\phi)\sin\phi\,d\phi\\ &=\left[-\phi\cos\phi+\sin\phi\right]_0^{\pi/2} -\left[\frac{\sin^3\phi}{3}\right]_0^{\pi/2}\\ &=1-\frac13=\frac23. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle V=4ar^4\cdot\frac43=\frac{16}{3}ar^4.$$ 積分区間の外では断面積が0であり、体積の積分範囲を漏れなく含めている。また $dt=2as\,ds$ と断面積の積を積分しており、結果の次数 $ar^4$ は体積の次数とも整合する。

(4) $a+r=1$ より $a=1-r$, $0<r<1$ である。(3)を代入すると $$\displaystyle V(r)=\frac{16}{3}(1-r)r^4,\qquad V'(r)=\frac{16}{3}r^3(4-5r).$$ したがって $0<r<4/5$ では増加し、$4/5<r<1$ では減少するので最大値は $r=4/5$ でとる。このとき $a=1/5$ であり、 $$\displaystyle V_{\max}=\frac{16}{3}\cdot\frac15\cdot\left(\frac45\right)^4 =\frac{4096}{9375}.$$