2東京医科歯科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

禁止される値の組は $(1,6),(2,5),(3,4)$ である。したがって、条件を満たす数列に現れる値の集合（以下、使用値集合）は、各組から高々1つずつを選んだ集合である。

(1) $n=2$ では、使用値集合が1種類のものは $6$ 通り、2種類のものは $\displaystyle \binom32 2^2=12$ 通りの集合があり、それぞれの集合を両方使う並べ方は $2^2-2=2$ 通りである。よって $$p_2=6+12\cdot2=30.$$ $n=3$ では、1種類の集合から $6$ 通り、2種類の集合から $12(2^3-2)=72$ 通り、3種類の集合から $2^3$ 個の集合それぞれについて全種類を使う並べ方 $3^3-3\cdot2^3+3=6$ 通りがある。したがって $$p_3=6+72+8\cdot6=126.$$

(2) 異なる使用値がちょうど2種類の場合、まず補数の異なる組を3組から2組選び、各組から使う値を1つずつ選ぶ。使用値集合は $\displaystyle \binom32 2^2=12$ 通り。選んだ2値をともに少なくとも1回使う長さ $n$ の数列は、全 $2^n$ 個から片方しか使わない2通りを除いて $2^n-2$ 個だから $$q_n=12(2^n-2).$$

(3) 使用値集合の種類数は高々3である。1種類の場合は6通りの集合があり、それぞれ数列は1個。2種類の場合は12通りの集合があり、それぞれ両方を使う数列は $2^n-2$ 個。3種類の場合は各補数組から1値ずつ選ぶ $2^3=8$ 通りの集合があり、3種類をすべて使う数列は包除原理により $3^n-3\cdot2^n+3$ 個である。よって $$\begin{aligned} p_n&=6+12(2^n-2)+8(3^n-3\cdot2^n+3)\\ &=8\cdot3^n-12\cdot2^n+6. \end{aligned}$$ $n=2,3$ を代入するとそれぞれ30,126となり、(1)の値とも一致する。