3東北大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) 有理化すると $$\displaystyle \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}.$$ $x>0$ より $1<\sqrt{1+x}<1+x$ だから $$2<\sqrt{1+x}+1<2+x.$$ 正の数 $x$ で割ると $$\displaystyle \frac{x}{2+x}<\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}<\frac{x}{2},$$ 従って求める不等式が成り立つ。

(2) (1)に $\displaystyle x=\frac{k}{n^2}$ を代入して $k=1,\ldots,n$ について足すと $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{2n^2+k}\le S_n\le\sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{2n^2}.$$ ここで $k\le n$ より $2n^2+k\le2n^2+n$ なので、左辺はさらに $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{2n^2+k}\ge\frac{1}{2n^2+n}\sum\limits _{k=1}^n k =\frac{n+1}{2(2n+1)}$$ と評価できる。一方、右辺は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{2n^2}=\frac{n+1}{4n}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{n+1}{2(2n+1)}\le S_n\le\frac{n+1}{4n}.$$ 両端はともに $n\to\infty$ で $\displaystyle \frac14$ に収束するから、はさみうちの原理により $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac14}.$$