1東北大学 2022年 数学 第1問解答・解説

各正の奇数を $l=2x+1,\ m=2y+1,\ n=2z+1$（$x,y,z\ge0$）と表すと $$\displaystyle x+y+z=\frac{K-3}{2}.$$ 非負整数解を仕切りで数える。

(1) $K=99$ では $x+y+z=48$ なので $$\displaystyle N=\binom{48+2}{2}=\binom{50}{2}=1225.$$

(2) $K=99$ のとき、例えば $x=y$ なら $2x+z=48$ であり、$x=0,1,\ldots,24$ の $25$ 通り。ほかの2組の等式についてもそれぞれ $25$ 通りである。各組に共通するのは $x=y=z=16$ の1通りだけなので、ちょうど2変数が等しい組は各等式につき $24$ 通り。3通りの等式はこの「ちょうど2変数が等しい」場合には重ならず、全て等しい1通りを加えると $$3\cdot24+1=73.$$

(3) 一般に $q=(K-3)/2$ は正整数であり、 $$\displaystyle N=\binom{q+2}{2}=\frac{K^2-1}{8},\qquad N-K=\frac{K^2-8K-1}{8}.$$ 許される小さい奇数を調べると、$K=5$ で $N-K=-2$、$K=7$ で $N-K=-1$、$K=9$ で $N-K=1$。従って $N>K$ を満たす最小の $K$ は $9$。

奇数を2x+1に直して非負整数三つの和として数える。同じ値を含む場合は等しい変数の組ごとに数え、全て等しい組を重複除去する。一般のKでは$\displaystyle N=\frac{K^2-1}{8}$とし小さい奇数を比較する。