5北海道大学 2022年 数学 第5問解答・解説

・ $x,y$ を実数として $z=x+yi$ とおく。①は $$z\bar z=x^2+y^2=4$$ なので、複素数平面上では原点を中心とする半径 $2$ の円である。②の両辺を二乗すると $$x^2+y^2=(x-\sqrt3)^2+(y+1)^2$$ であり、整理して $$y=\sqrt3x-2$$ を得る。これは原点と $(\sqrt3,-1)$ から等距離にある点の軌跡で、直線である。両方の図形と交点を図示すると次の図になる。

・ 円の式へ直線の式を代入すると $$x^2+(\sqrt3x-2)^2=4 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 4x(x-\sqrt3)=0.$$ したがって交点は $(x,y)=(0,-2),(\sqrt3,1)$ であり、共通解は $$\boxed{z=-2i,\quad z=\sqrt3+i}.$$

・ 共通解の積は $$\displaystyle w=(-2i)(\sqrt3+i)=2-2\sqrt3i =4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$ よって任意の整数 $n$ に対し $$\displaystyle w^n=4^n\left(\cos\left(-\frac{n\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{n\pi}{3}\right)\right).$$ $4^n>0$ なので、$w^n$ が負の実数となるのは偏角が奇数倍の $\pi$ となるとき、すなわち $$\displaystyle -\frac{n\pi}{3}\equiv\pi\pmod{2\pi} \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \boxed{n\equiv3\pmod6}$$ である。これは $n=6k+3$（$k$ は整数） と同値である。