4群馬大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$c=(a+1/a)/2$とおくと $$\displaystyle c-1=\frac{(a-1)^2}{2a}\ge0.$$ 加法定理から$z_2=c(-\sin\theta+i\cos\theta)$であり、 $$z_1+z_2=(\cos\theta+i\sin\theta)(1+ci).$$ (1) $1+ci$の偏角を$\delta$とすると$\tan\delta=c\ge1$、したがって $45^\circ\le\delta<90^\circ$。また$0^\circ<\theta<90^\circ$より積の偏角は主値範囲内で、$\arg(z_1+z_2)=\theta+\delta\ge\theta+45^\circ$。 (2) $A=\sqrt2+\sqrt3$とする。$a\ge A$では $$\displaystyle c(a)-c(A)=\frac12(a-A)\left(1-\frac1{aA}\right)\ge0,$$ かつ$c(A)=\sqrt3$。実部は$\cos\theta-c\sin\theta$で、$\sin\theta>0$だから、全ての$a\ge A$に対して非正となる条件は最小の$c=\sqrt3$でも非正となること。これは $$\cos\theta-\sqrt3\sin\theta\le0 \quad\text{すなわち}\quad \tan\theta\ge1/\sqrt3 \quad\text{すなわち}\quad \theta\ge30^\circ.$$ 元の範囲を合わせて$30^\circ\le\theta<90^\circ$。