6新潟大学 2002年 数学 第6問解答・解説

$A=(\sqrt2,0), B=(-\sqrt2,0), P=(r\cos\theta,r\sin\theta)$であるから、距離の公式より$$PA^2=r^2-2\sqrt2r\cos\theta+2,\qquad PB^2=r^2+2\sqrt2r\cos\theta+2.$$ 条件$PA\cdot PB=2$を両辺平方すると$$4=PA^2PB^2=(r^2+2)^2-8r^2\cos^2\theta.$$ これを整理して$$r^4+4r^2(1-2\cos^2\theta)=0,\qquad r^2(r^2-4\cos2\theta)=0.$$ $r>0$より$r^2>0$なので、$r^2=4\cos2\theta$を得る。

三角形$PAB$の底辺$AB=2\sqrt2$、高さ$r\sin\theta$より、その面積を$S$とすると$$S=\sqrt2r\sin\theta,\qquad S^2=8\sin^2\theta\cos2\theta.$$ $u=\sin^2\theta$とおくと$\displaystyle 0<u<\frac12$であり、$$\displaystyle S^2=8u(1-2u)=1-16( u-\frac14)^2\le1.$$ 等号は$\displaystyle u=\frac14$、すなわち$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲で$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のときに成り立つ。このとき$\displaystyle r^2=4\cos\frac{\pi}{3}=2$で$r=\sqrt2$だから、$$\displaystyle x=r\cos\theta=\frac{\sqrt6}{2},\qquad y=r\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}.$$ よって面積の最大値は1であり、そのとき$\displaystyle P=(\frac{\sqrt6}{2},\frac{\sqrt2}{2})$。

距離積の条件を二乗して極方程式を導く。面積の二乗を$u=\sin^2\theta$の二次式に直し、平方完成と達成点の確認で最大値を得る。