東邦大学 2002年数学第2問解答・解説

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1問題

東邦大学2002年度第2問

$xy$ 平面上に3点 $A(-2a,0)$ ， $B(2b,0)$ ， $C(0,2c)$ がある（ただし $a,b,c$ は正の実数）。線分 $AB$ を斜辺とする直角二等辺三角形を三角形 $ABC$ の外部にとり，その直角の頂点を $D$ とする。同様に線分 $BC$ ， $CA$ をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形を三角形 $ABC$ の外部にとり，それらの直角の頂点をそれぞれ $E,F$ とする。以下の問に答えよ。

(1) 点 $D,E,F$ それぞれの座標を $a,b,c$ を用いて表せ。

(2) 直線 $CD$ と直線 $EF$ が直交することを示せ。

(3) 線分 $CD$ と線分 $EF$ の長さが等しいことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$D=(b−a,−a−b), E=(b+c,b+c), F=(−a−c,a+c)$ 。
(2)
CD⊥EF。
(3)
$|CD|=|EF|=\sqrt{(b-a)^2+(a+b+2c)^2}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $AB$ の中点は $(b-a,0)$ 。 $\triangle ABC$ の外側は $x$ 軸の下側なので、 $AB$ を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点は $D=(b-a,-a-b)$ 。 $BC$ の中点は $(b,c)$ 、 $CA$ の中点は $(-a,c)$ 。それぞれの斜辺の半分を $90$ 度回転したベクトルの長さは斜辺の半分に等しい。三角形 $ABC$ の外側を選ぶと $E=(b+c,b+c)$ 、 $F=(-a-c,a+c)$ 。

(2)(3) $C=(0,2c)$ なので $\overrightarrow{CD}=(b-a,-a-b-2c)$ 。また $\overrightarrow{EF}=F-E=(-a-b-2c,a-b)$ 。よって $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{EF}=(b-a)(-a-b-2c)+(-a-b-2c)(a-b)=0$ 、従って $CD\perp EF$ 。また、両ベクトルの成分は順序を入れ替えたものと符号違いなので、 $|CD|^2=|EF|^2=(b-a)^2+(a+b+2c)^2$ 。

この問題で使う考え方

中点と垂線
ベクトルの内積
距離公式

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