7千葉大学 2002年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \text{位置ベクトルを }\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c,\mathbf d\text{ とする。与式は}\\(\mathbf b-\mathbf a)+(\mathbf d-\mathbf a)+2\{(\mathbf b-\mathbf c)+(\mathbf d-\mathbf c)\}=\mathbf0\\\text{より} 3(\mathbf b+\mathbf d)=2\mathbf a+4\mathbf c.\text{ }M\text{ を }BD\text{ の中点とすると}\\\mathbf m=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{2}=\frac{\mathbf a+2\mathbf c}{3}=\frac13\mathbf a+\frac23\mathbf c.\\\text{よって }M\text{ は線分 }AC\text{ 上にあり、}AM:MC=2:1\text{。また }AC\perp BD\text{ だから、}AC\text{ は弦 }BD\text{ の垂直二等分線である。円の中心 }O\text{ はこの垂直二等分線上にあるので }O\text{ は直線 }AC\text{ 上にあり、したがって }AC\text{ は直径で長さ }2\text{。}\\O=(0,0),\ A=(-1,0),\ C=(1,0)\text{ とおくと }M=(1/3,0)\text{。}BD\text{ は }x=1/3\text{ で、単位円との交点は}\\B,D=\left(\frac13,\pm\frac{2\sqrt2}{3}\right)\text{（上下は入替可）。}\\AB=DA=\sqrt{(4/3)^2+(2\sqrt2/3)^2}=\frac{2\sqrt6}{3},\qquad BC=CD=\sqrt{(2/3)^2+(2\sqrt2/3)^2}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$