3千葉大学 2002年 数学 第3問解答・解説

新しく描く円の中心が $x$ 軸の上側にあるとき、その中心を $(u,r)$、半径を $r>0$ とする。既存の円の中心を $(c,R)$、半径を $R$ とし、既存円も $x$ 軸の上側で接しているとする。新しい円が既存円に外接する条件、内接する条件はそれぞれ $$(u-c)^2+(r-R)^2=(r+R)^2\quad\text{すなわち}\quad (u-c)^2=4rR,$$ $$(u-c)^2+(r-R)^2=(r-R)^2\quad\text{すなわち}\quad u=c.$$ 中心が $x$ 軸の下側 $(u,-r)$ にある場合、内接は垂直方向の距離 $r+R$ が半径差 $|r-R|$ より大きいため不可能である。外接するなら $$(u-c)^2+(r+R)^2=(r+R)^2$$ より $u=c$ を要する。

(1) $C_1,C_2$ の中心の $x$ 座標はそれぞれ $0,2$、半径はともに $1$ である。下側の円が両方に接するには外接で $u=0$ と $u=2$ を同時に満たす必要があり、不可能である。上側で両方に外接する場合は $$u^2=4r,\qquad (u-2)^2=4r$$ より $u=1$、さらに $r=1/4$。一方に内接する場合は内接条件からその円と中心の $x$ 座標が等しくなり、もう一方への外接条件から既存の $C_1$ または $C_2$ そのものになる。両方への内接は $u=0$ と $u=2$ が必要で不可能である。したがって新しい円 $C_3$ の中心は $$\displaystyle \boxed{\left(1,\frac14\right)}.$$

(2) $C_3$ の中心は $(1,1/4)$、半径は $1/4$ である。下側の円は内接できず、両方への外接には $u=0$ と $u=1$ が必要なので存在しない。上側の円について、$C_1$ への外接・内接条件はそれぞれ $u^2=4r$、$u=0$、$C_3$ への外接・内接条件はそれぞれ $(u-1)^2=r$、$u=1$ である。両方に外接する場合、 $$u^2=4r,\qquad (u-1)^2=r$$ から $u^2=4(u-1)^2$、すなわち $(3u-2)(u-2)=0$。$u=2$ では $r=1$ となり既存の $C_2$ なので除く。$u=2/3$ では $r=u^2/4=1/9$ となる。一方だけ内接する場合は $C_1$ または $C_3$ 自身となり、両方への内接は不可能である。よって求める円 $C_4$ の中心は $$\displaystyle \boxed{\left(\frac23,\frac19\right)}.$$