12千葉大学 2002年 数学 第12問解答・解説

(1) $c=2$ とする。$a_1=2=1+1$。$a_n=n+1$ と仮定すると $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(n+1)^2-1}{n}=n+2.$$ よって数学的帰納法により $a_n=n+1\ (n\ge1)$。

(2) $c\ge2$ とする。$a_1=c\ge2$。$a_n\ge n+1$ なら $a_n>0$ なので $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{n}\ge\frac{(n+1)^2-1}{n}=n+2.$$ 帰納法により $a_n\ge n+1$ がすべての $n\ge1$ で成り立つ。右辺は $n\to\infty$ で無限大に発散するため $a_n\to\infty$。

(3) $c=\sqrt2$ のとき $$a_1=\sqrt2,\qquad a_2=1,\qquad a_3=0.$$ $n\ge3$ で $|a_n|\le1$ とすると $0\le a_n^2\le1$ だから $$\displaystyle -\frac1n\le a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{n}\le0.$$ 従って $|a_{n+1}|\le1/n\le1$ であり、$a_3=0$ から帰納的に $|a_n|\le1$ が続く。また全ての $n\ge3$ で $|a_{n+1}|\le1/n\to0$ なので $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0$。