9千葉大学 2002年 数学 第9問解答・解説

まず$xE-A=\begin{pmatrix}x-4&-3\\-2&x+1\end{pmatrix}$である。その行列式が0となる条件から、$$\det(xE-A)=(x-4)(x+1)-6=x^2-3x-10=(x-5)(x+2).$$よって$\alpha=5,\quad\beta=-2$。これを定義に代入すると、$$\displaystyle P=\frac17\begin{pmatrix}6&3\\2&1\end{pmatrix},\qquad Q=\frac17\begin{pmatrix}1&-3\\-2&6\end{pmatrix}.$$

(1) 成分ごとに積を計算して、$$\displaystyle PQ=\frac1{49}\begin{pmatrix}6&3\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-3\\-2&6\end{pmatrix}=\frac1{49}\begin{pmatrix}6-6&-18+18\\2-2&-6+6\end{pmatrix}=O.$$

(2)$$\displaystyle P^2=\frac1{49}\begin{pmatrix}6&3\\2&1\end{pmatrix}^2=\frac1{49}\begin{pmatrix}42&21\\14&7\end{pmatrix}=P.$$従って、積を左から繰り返す帰納法により、$n\ge1$で$\displaystyle P^n=P=\frac17\begin{pmatrix}6&3\\2&1\end{pmatrix}$。

(3) 成分計算により、$$\displaystyle Q^2=\frac1{49}\begin{pmatrix}7&-21\\-14&42\end{pmatrix}=Q,\qquad QP=\frac1{49}\begin{pmatrix}6-6&3-3\\-12+12&-6+6\end{pmatrix}=O,\qquad P+Q=E.$$また、$$\displaystyle 5P-2Q=\frac17\begin{pmatrix}30&15\\10&5\end{pmatrix}-\frac27\begin{pmatrix}1&-3\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&3\\2&-1\end{pmatrix}=A.$$$n=1$では主張が成立する。ある$n\ge1$で$A^n=5^nP+(-2)^nQ$と仮定すると、$$\begin{aligned}A^{n+1}&=(5^nP+(-2)^nQ)(5P-2Q)\\&=5^{n+1}P^2-2\cdot5^nPQ+5(-2)^nQP+(-2)^{n+1}Q^2\\&=5^{n+1}P+(-2)^{n+1}Q.\end{aligned}$$よって数学的帰納法により、全ての正の整数$n$で$A^n=5^nP+(-2)^nQ$。