12東邦大学 2013年 数学 第12問解答・解説

$D=ad-bc\ne0$ とおき、$B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ とする。成分を直接掛けると $AB=BA=DI$ となるので、 $$\displaystyle A^{-1}=\frac1D\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$ これは2次の行列についての式を直接確認したものである。与式を成分ごとに比べると $$\displaystyle a-\frac dD=-3,\qquad b+\frac bD=6,\qquad c+\frac cD=6,\qquad d-\frac aD=3.$$ 最初と最後の式を加えると $$\displaystyle (a+d)\left(1-\frac1D\right)=0.$$ $a,d>0$ より $a+d>0$ だから $D=1$ である。したがって $b=c=3$、また $a-d=-3$ より $d=a+3$。さらに $ad-bc=1$ から $$a(a+3)-9=1,\qquad (a-2)(a+5)=0.$$ $a>0$ なので $a=2$、$d=5$ である。ゆえに $a+d=7$、$ad-bc=1$ となる。