東邦大学 2013年数学第5問解答・解説

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1問題

東邦大学2013年度第5問

座標平面上に、原点 $(0,0)$ から出発する動点 $P$ がある。サイコロを1回ふり、1または2の目が出たとき点 $P$ は $x$ 軸の正の方向に1だけ移動し、3または4の目が出たときは $y$ 軸の正の方向に1だけ移動し、5または6の目が出たときは動かないとする。

サイコロを4回ふった結果、点 $P$ が原点 $(0,0)$ から点 $(m,n)$ に移動する確率を $P(m,n)$ で表すとき、 $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{2}P(2,k)=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

4回中x方向への移動がちょうど2回となる確率を組合せで数えた。残る2回はy方向または停止なので、和の対象と一致する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{\boxed{8}}{\boxed{27}}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

1回の試行で $x$ 方向へ動く確率は $2/6=1/3$ 、そうでない確率は $4/6=2/3$ である。4回のうちちょうど2回が $x$ 方向への移動であれば、残り2回はそれぞれ $y$ 方向への移動または停止なので、最終点の $y$ 座標は $k=0,1,2$ のいずれかとなる。したがって $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{2}P(2,k) =\binom42\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^2 =6\cdot\frac19\cdot\frac49=\frac8{27}.$ よって、 $\boxed{\text{サ}}=8,\ \boxed{\text{シス}}=27$ である。

この問題で使う考え方

組合せ
独立な試行
確率の基本法則

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