9東邦大学 2013年 数学 第9問解答・解説

階乗と二項係数をまとめると $$\displaystyle \log_e\binom{2n}{n}+\log_e(n!) =\log_e\frac{(2n)!}{n!} =\sum\limits _{k=1}^{n}\log_e(n+k).$$ したがって $$\displaystyle \frac{f(n)}n =\log_e n+\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}\log_e\left(1+\frac{k}{n}\right) +1-\log_e\frac{n}{24} =\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}\log_e\left(1+\frac{k}{n}\right)+1+\log_e24.$$ 和の部分は連続関数 $\log_e(1+x)$ のリーマン和なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}\log_e\left(1+\frac{k}{n}\right) =\int_0^1\log_e(1+x)\,dx=2\log_e2-1.$$ よって $$X=2\log_e2-1+1+\log_e24=\log_e96,$$ したがって $e^X=\boxed{96}$ である。