3東邦大学 2013年 数学 第3問解答・解説

$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおく。$0^\circ\leq\theta\leq90^\circ$ より $s,c\geq0$ であり、$s^2+c^2=1$ である。条件から $c=5-7s$ なので、 $$\displaystyle s^2+(5-7s)^2=1 \quad\text{すなわち}\quad 25s^2-35s+12=0 \quad\text{すなわち}\quad (s-\tfrac35)(s-\tfrac45)=0.$$ $\displaystyle s=\tfrac45$ のとき $\displaystyle c=5-7s=-\tfrac35<0$ となり、条件に反する。したがって $\displaystyle s=\tfrac35,\ c=\tfrac45$ である。これを求める式に代入すると、 $$\displaystyle \frac{s}{1+c}+\frac{c}{1+s} =\frac{\frac35}{1+\frac45}+\frac{\frac45}{1+\frac35} =\frac13+\frac12=\frac56.$$ よって、$\boxed{\text{キ}}=5,\ \boxed{\text{ク}}=6$ である。