I慶應義塾大学 2013年 数学 第I問解答・解説

(1) $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおくと $3s+c=3$ であり、$s^2+c^2=1$ である。$c=3-3s$ を代入して $$s^2+9(1-s)^2=1 \quad\text{すなわち}\quad (5s-4)(s-1)=0.$$ $0<\theta<\pi/2$ より $s\ne1$ なので $s=4/5,\ c=3/5$。したがって $$\displaystyle \sin2\theta=2sc=\frac{24}{25}.$$

(2) 対数をとると $$\displaystyle \frac{\log7}{x}=2\log3,\qquad \frac{\log63}{y}=\log3.$$ ゆえに $2x=\log7/\log3$、また $y=\log63/\log3=\log7/\log3+2$ である。よって $$2x-y=-2.$$

(3) $A,B,C$ を通る平面は、切片の形から $$\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt2}+z=1, \quad\text{すなわち}\quad x+\sqrt2\,y+2z=2$$ と表せる。法線方向のベクトルは $\boldsymbol n=(1,\sqrt2,2)$ である。

(i) $Q=(0,0,z)$ を通り $\boldsymbol n$ に平行な直線上の点を $Q+\lambda\boldsymbol n$ とする。これが平面上にある条件は $$\lambda+\sqrt2(\sqrt2\lambda)+2(z+2\lambda)=2,$$ したがって $7\lambda+2z=2$、$\lambda=2(1-z)/7$ である。よって $$\displaystyle P=\left(\frac{2(1-z)}7,\frac{2\sqrt2(1-z)}7,\frac{3z+4}7\right).$$

(ii) $QP=|\lambda|\,|\boldsymbol n|$ で、$|\boldsymbol n|=\sqrt7$ だから $$\displaystyle QP=\frac{2|1-z|}{\sqrt7}.$$

(iii) $P$ が $AB$ 上にあるには第3座標が0であるから $z=-4/3$。このとき $P=(2/3,2\sqrt2/3,0)$。一方、 $$(1-\rho)A+\rho B=(2(1-\rho),\sqrt2\,\rho,0)$$ とおけば $\rho=2/3$ となる。よって $AP:PB=\rho:(1-\rho)=2:1$ である。