自治医科大学 2013年数学第5問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第5問

三角形ABCにおいて $\angle A,\angle B,\angle C$ の大きさをそれぞれ $A,B,C$ とし, 辺 $BC,CA,AB$ の長さをそれぞれ $2,3,4$ とする。 $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\tan A}$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

余弦定理で角Aを決め、三角比の相互関係で正接を求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\tan A}=7\quad($ ヤ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

辺の記号を $a=BC=2,\ b=CA=3,\ c=AB=4$ とする。余弦定理より $\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{9+16-4}{24}=\frac78.$ 三角形の内角 $A$ は鋭角なので $\displaystyle \sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{\sqrt{15}}8,\qquad \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sqrt{15}}7.$ したがって $\sqrt{15}/\tan A=7$ 。選択肢はヤである。

この問題で使う考え方

余弦定理
三角比と相互関係

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