自治医科大学 2013年数学第22問解答・解説

微分・積分の考え

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1問題

自治医科大学2013年度第22問

関数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}(t^{2}-t-6)\,dt$ の極大値を $p$ , 極小値を $q$ とする。 $(pq+100)$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

基本定理で導関数を得て増減を調べ、原始関数から二つの極値を評価した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$pq+100=1\quad($ カ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

微積分の基本定理により $f'(x)=x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ 。従って $x=-2$ で極大、 $x=3$ で極小となる。原始関数を用いると $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x+\frac{37}{6}.$ よって $\displaystyle p=f(-2)=\frac{27}{2},\qquad q=f(3)=-\frac{22}{3}.$ したがって $pq+100=(27/2)(-22/3)+100=-99+100=1$ 。選択肢はカである。

この問題で使う考え方

定積分
多項式の導関数
極大・極小

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