自治医科大学 2013年数学第12問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第12問

円 $C_1:x^{2}+y^{2}+2x-4y-3=0$ , 円 $C_2:x^{2}+y^{2}-4x-2y-1=0$ について考える。円 $C_1$ と円 $C_2$ の2つの異なる交点と原点を通る円の方程式を $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ とするとき, $b-c-a$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

2円の差で共通弦を表し、その直線を一方の円に加える円の束を用いた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$b-c-a=6\quad($ マ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

2円の交点を通る円は、 $C_1$ の式に2円の差を定数倍して加えた形で表せる。差を取ると共通弦の直線は $C_1-C_2=6x-2y-2=0.$ したがって求める円は $x^2+y^2+2x-4y-3+\lambda(6x-2y-2)=0$ と書ける。原点を通る条件から $-3-2\lambda=0$ 、よって $\lambda=-3/2$ 。係数を比較すると $a=2+6\lambda=-7,\ b=-4-2\lambda=-1,\ c=0$ であり、 $b-c-a=-1-0-(-7)=6.$ 選択肢はマである。

この問題で使う考え方

円の方程式
直線の方程式

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