自治医科大学 2013年数学第14問解答・解説

図形の性質図形と方程式

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1問題

自治医科大学2013年度第14問

3点 $A(1,4),B(-2,1),C(4,2)$ を頂点とする三角形ABCの外心の座標を $(p,q)$ としたとき, $10(p-q)$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

二辺の垂直二等分線を求め、その交点を外心とした。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$10(p-q)=2\quad($ サ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

外心 $(p,q)$ は辺 $AB$ と $AC$ の垂直二等分線の交点である。辺 $AB$ の中点は $(-1/2,5/2)$ 、傾きは1なので、その垂直二等分線は $y=-x+2.$ 辺 $AC$ の中点は $(5/2,3)$ 、傾きは $-2/3$ なので、その垂直二等分線は $\displaystyle y-3=\frac32\left(x-\frac52\right).$ 連立すると $p=11/10,\ q=9/10$ 。よって $10(p-q)=10(2/10)=2$ 。選択肢はサである。

この問題で使う考え方

三角形の中心
直線の方程式

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