自治医科大学 2013年数学第24問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第24問

曲線 $C_1:y=x^{3}+5x^{2}+9x+9$ , 曲線 $C_2:y=-2x^{2}+ax+b$ について考える。曲線 $C_1$ と曲線 $C_2$ は点 $P(1,24)$ で接する。曲線 $C_2$ と $x$ 軸で囲まれる面積を $S$ とする。 $\displaystyle \frac{9S}{13^{3}}$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

接点の関数値と接線の傾きで二次関数を確定し、x軸との間の面積を積分した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{9S}{13^3}=3\quad($ タ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

点 $P(1,24)$ で接するので、まず $C_1$ の微分係数を求めると $C_1'(x)=3x^2+10x+9,\qquad C_1'(1)=22.$ $C_2'(x)=-4x+a$ だから $a-4=22$ 、従って $a=26$ 。さらに $P$ が $C_2$ 上にあるので $24=-2+26+b$ 、よって $b=0$ 。したがって $C_2:y=-2x^2+26x$ のx切片は0,13であり、その間ではグラフはx軸より上にある。ゆえに $\displaystyle S=\int_0^{13}(-2x^2+26x)\,dx =\left[-\frac23x^3+13x^2\right]_0^{13} =\frac{13^3}{3}.$ 従って $9S/13^3=3$ 。選択肢はタである。

この問題で使う考え方

多項式の導関数
接線の方程式
定積分による面積

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