2香川大学 2010年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=x^3-3a^2x$ とすると、$f'(x)=3x^2-3a^2$ である。原点での接線は $$\ell_1:\ y=-3a^2x.$$ 点 $P(p,f(p))$ における接線は $$y=f(p)+f'(p)(x-p) =(3p^2-3a^2)x-2p^3$$ だから、 $$\ell_2:\ y=3(p^2-a^2)x-2p^3.$$

$\ell_1,\ell_2$ の交点 $Q$ は $$-3a^2x=3(p^2-a^2)x-2p^3$$ を満たす。$p\ne0$ より $$\displaystyle x_Q=\frac{2p}{3},\qquad y_Q=-2a^2p.$$

次に面積を求める。線分 $OP$ の傾きは $p^2-3a^2$ である。$x=pu$ とおくと、曲線と線分 $OP$ の差は $$f(pu)-(p^2-3a^2)pu=p^3(u^3-u).$$ よって、$p$ の正負にかかわらず $$\displaystyle S=p^4\int_0^1(u-u^3)\,du=\frac{p^4}{4}.$$

$p>0$ のときは、$0\le x\le 2p/3$ で $\ell_1$ が下側、$2p/3\le x\le p$ で $\ell_2$ が下側となる。面積は $$\displaystyle \begin{aligned} T &=p^4\left\{\int_0^{2/3}u^3\,du+ \int_{2/3}^{1}(u^3-3u+2)\,du\right\}\\ &=p^4\left(\frac{4}{81}+\frac{11}{324}\right) =\frac{p^4}{12}. \end{aligned}$$ $p<0$ の場合は原点対称で同じ面積になる。したがって $$\displaystyle S:T=\frac{p^4}{4}:\frac{p^4}{12}=3:1,$$ これは $a,p$ によらない。