3香川大学 2010年 数学 第3問解答・解説

1. まず $$Q=(\cos\theta+2\sin\theta,\ 2\cos\theta+\sin\theta).$$ したがって $$|OQ|^2=(c+2s)^2+(2c+s)^2=5(c^2+s^2)+8cs=5+4\sin2\theta,$$ ただし $c=\cos\theta, s=\sin\theta$ とした。区間 $0<\theta<\pi$ では $-1\leq\sin2\theta\leq1$ で、最大・最小はそれぞれ $\theta=\pi/4,3\pi/4$ で実現する。よって $1\leq |OQ|^2\leq9$ であり、$1\leq|OQ|\leq3$。

2. 三角形の面積は行列式を使って $$\displaystyle [OPQ]=\frac12|\det(P,Q)|=\frac12|c(2c+s)-s(c+2s)|=|\cos2\theta|.$$ この値の最大は1で、区間内で $|\cos2\theta|=1$ となるのは $\theta=\pi/2$ のみ（$\theta=0,\pi$ は範囲外）だから、最大値は1、そのとき $\theta=\pi/2$。

3. $|OQ|\geq1$ なので直線 $OQ$ は定まり、点 $P$ からその直線までの距離は、平行四辺形の面積を底辺 $|OQ|$ で割ればよい。したがって $$\displaystyle d=\frac{|\det(P,Q)|}{|OQ|}=\frac{2|\cos2\theta|}{\sqrt{5+4\sin2\theta}}.$$

4. 座標を $U=x+y, V=x-y$ に取り直す。この変換は可逆なので一直線上にあるかどうかを保つ。$A$ の作用は $(U,V)\mapsto(3U,-V)$ である。$P_1$ の新座標を $(U,V)$ とすると、$P_2-P_1$ と $P_3-P_1$ の新座標は $(2U,-2V)$ と $(8U,0)$。三点が一直線上にあるための必要条件は $$\begin{vmatrix}2U&-2V\\8U&0\end{vmatrix}=16UV=0.$$ 従って $U=0$ または $V=0$。逆に $U=0$ なら以後も $U_n=0$、$V=0$ なら以後も $V_n=0$ なので、この条件は列全体が一直線上にあるためにも十分である。$P_1=(c,s)$ より $U=0$ は $c+s=0$、すなわち $\theta=3\pi/4$、$V=0$ は $c-s=0$、すなわち $\theta=\pi/4$。答えは $\theta=\pi/4,3\pi/4$。