1香川大学 2010年 数学 第1問解答・解説

$\triangle ABC$ の内角の和は $$A+B+C=\pi$$ である。

1. 加法定理および和積の公式から $$\displaystyle \begin{aligned} \sin A+\sin B+\sin C &=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac C2\cos\frac C2\\ &=2\cos\frac C2\left(\cos\frac{A-B}{2}+\sin\frac C2\right)\\ &=2\cos\frac C2\left(\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}\right)\\ &=4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2. \end{aligned}$$ ここで $(A+B)/2=\pi/2-C/2$ より $\sin((A+B)/2)=\cos(C/2)$ および $\sin(C/2)=\cos((A+B)/2)$ を用いた。

2. $\cos C=1-2\sin^2(C/2)$ と $(A+B)/2=\pi/2-C/2$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \cos A+\cos B+\cos C &=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^2\frac C2\\ &=1+2\sin\frac C2\left(\cos\frac{A-B}{2}-\sin\frac C2\right)\\ &=1+2\sin\frac C2\left(\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}\right)\\ &=1+4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2. \end{aligned}$$ 最後の等号では $\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ に $x=(A-B)/2,\ y=(A+B)/2$ を代入した。

3. $\tan A,\tan B,\tan C$ が定義されるとする。このとき $\cos A\cos B\cos C\ne0$。加法定理より $$\begin{aligned} 0=\sin(A+B+C) &=\sin A\cos B\cos C+\cos A\sin B\cos C+\cos A\cos B\sin C-\sin A\sin B\sin C\\ &=\cos A\cos B\cos C\left(\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C\right). \end{aligned}$$ したがって $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$。なお、三角形の一つの角が $90^\circ$ のときは対応する正接が定義されないため、3 の等式自体も定義されない。